\documentclass[a4paper,12pt,ngerman]{scrartcl}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm,footskip=2cm]{geometry}
\DeclareUnicodeCharacter{25CB}{$\circ$}

% Kopf- und Fußzeilen
\usepackage{scrlayer-scrpage, lastpage}
\setkomafont{pageheadfoot}{\large\textrm}
\cfoot*{\thepage{}/\pageref{LastPage}}

% Position des Titels
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-1.0cm}

% Für mathematische Befehle und Symbole
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

% Für Bilder
\usepackage{graphicx}

% Für Algorithmen
\usepackage{algpseudocode}

% Für Quelltext
\usepackage{minted}
\usepackage{color}
\definecolor{mygreen}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{mygray}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\definecolor{mymauve}{rgb}{0.58,0,0.82}

% Anführungszeichen
\usepackage{csquotes}
\usepackage{forloop}

% Diese beiden Pakete müssen zuletzt geladen werden
\usepackage{hyperref} % Anklickbare Links im Dokument
\usepackage{cleveref}

% Daten für die Titelseite
\title{40. Bundeswettbewerb Informatik}
\author{Marcel Zinkel}

\newcommand{\beispiel}[1] {
	hexmax#1.txt:
	\inputminted[breaklines,breakanywhere]{text}{Aufgabe3-HexMax/ergebnisdateien/#1.txt}
}

\newcommand{\rechen}[1] {
	\inputminted[breaklines]{text}{Aufgabe2-Rechenraetsel/ergebnisdateien/#1.txt}
}

\begin{document}

\maketitle

Der Bundeswettbewerb Informatik ist ein seit 1980 jedes Jahr stattfindender
Schülerwettbewerb, der die Schüler für die Informatik begeistern soll. Dabei
soll die Teilnehmer ein Programm entwickeln, das das in der Aufgabenstellung
beschriebene Problem löst. Außerdem soll der Lösungsweg dokumentiert werden. Der
Wettbewerb wird in drei Runden ausgetragen. Die Aufgaben der ersten beiden
Runden werden zu Hause bearbeitet. Die besten der zweite Runde werden zur
Endrunde eingeladen, die bei einem jährlich wechselnden Sponsor ausgerichtet
wird. Weitere Informationen zum Bundeswettbewerb Informatik kann man auf der
\href{https://bwinf.de/bundeswettbewerb/}{offiziellen Webseite} erhalten.

Ich habe dieses Jahr auch teilgenommen und im Folgenden kann meine Einsendungen
der ersten beiden Runden finden. Dabei habe ich beim Zusammenstellen noch
geringfügige Überarbeitungen vorgenommen und einige Beispiele entfernt, damit
die Arbeit übersichtlicher wird.

\tableofcontents

\vspace{0.5cm}

\part{Runde 1}
In der ersten Runde musste man mindestens drei von fünf Aufgaben bearbeiten, wobei die
besten drei gewertet werden. Ich habe die Aufgabe 1, 2 und 4 bearbeitet und mit
15 Punkten die Höchstpunktzahl erreicht und mich damit für die zweite Runde
qualifiziert. Der Quelltext meiner Programme, die Aufgabenstellung und weitere
Beispielausgaben findet man in meinem
\href{https://git.zinkel.org/MrGeorgen/bwinf40-runde1}{Git-Repository}.

\section{Aufgabe 1: Schiebeparkplatz}
Auf einen Parkplatz parken die Autos senkrecht zur Straße. Vor diesen Autos
parken außerdem noch welche parallel zur Straße. Im folgenden Bild kann solch einen
Parkplatz sehen.
\begin{center}
	\includegraphics{Schiebeparkplatz.png}
\end{center}
Die quer parkenden Autos können verschoben werden, damit die Autos, die dahinter
parken, rausfahren können. Es soll ein Programm geschrieben werden, das bei
einer gegebenen Parkplatzsituation für jedes normal parkende Auto ausgibt,
wie die quer parkenden Autos verschoben werden müssen, damit es ausfahren kann.
Dabei sollen möglichst wenige Autos verschoben werden.

\subsection{Lösungsidee}
Für jede normale Textdatei wird die ASCII-Codierung verwendet bzw. ein
Zeichensatz, der auf ASCII basiert und zusätzliche Sonderzeichen enthält, wobei
die Codes, die bereits in ASCII enthalten sind, übernommen wurden. Die
ASCII-Codes für die Buchstaben sind entsprechend dem Alphabet hintereinander
angeordnet. Dies ist sehr nützlich, da somit eine Liste der Buchstaben und deren
Position im Alphabet nicht benötigt wird. So kann der Buchstabe des nächsten
einfach bestimmt werden.

Zur Lösung des Parkplatzproblems werden die Autos, wenn möglich nach links bzw.
rechts verschoben, bis die Parklücke frei ist. Je nachdem, in welche Richtung
weniger Autos verschoben werden müssen, wird die Verschiebungsrichtung gewählt.

\subsection{Umsetzung}
Da die Lösung des Problems keine besondere Library benötigt und die Anforderungen
an die Ausführungsgeschwindigkeit gering sind, hätte man fast jede Programmiersprache
wählen können. Ich habe mich für Go entschieden.

Das Programm akzeptiert als Argumente eine beliebige Anzahl an Pfaden zu Parkplatzdateien.
Für das Iterieren über die Argumente wird eine for-Schleife benutzt.
Innerhalb der Schleife wird die Eingabedatei ausgelesen. Anhand des ersten und letzten
Buchstabens der Autos auf den normalen Parkplätzen wird die Anzahl an Parkplätzen
bestimmt. Anschließend wird eine Slice\footnote{ein dynamisch vergrößerbares Array in Go}
mit den Buchstaben der quer parkenden Autos befüllt an den Indexen, an denen sie die
normalen Parkplätze blockieren.

In einer for-Schleife wird die Funktion \mintinline{go}|move| je Index der Parkplätze doppelt
für beide Verschiebungsrichtungen aufgerufen.
In der Funktion \mintinline{go}|move| wird ein Auto verschoben, wenn nicht das Ende des
Parkplatzes erreicht ist. Die Funktion ruft sich rekursiv auf, um weitere Autos zu
verschieben. Je nachdem, in welche Richtung weniger Autos verschoben werden müssen,
wird sich für das Verschieben in diese Richtung entschieden.
Wenn es allerdings gleich viele sind, ist die geringere Anzahl der verschobenen
Plätze aller Autos ausschlaggebend für das Verschieben in diese Richtung.

\subsection{Beispiele}
Zunächst habe ich das Programm mit dem vorhin abgebildeten Parkplatz
ausprobiert:
\begin{minted}[]{text}
beispieldaten/parkplatz0.txt:
A:
B:
C: H 1 rechts
D: H 1 links
E:
F: H 1 links, I 2 links
G: I 1 links
\end{minted}
Diese Ausgabe entspricht der Lösung, die in der Aufgabenstellung gegeben wurde.

Außerdem habe ich selbst noch weitere Testfälle erstellt, die man unter
\enquote{a1-Schiebeparkplatz/testdaten} finden kann.
Als Erstes habe ich getestet, ob das Programm auch mit dem Verschieben
sehr vieler Autos klarkommt. Es gibt 26 Parkplätze, wovon alle außer die ersten
beiden mit quer parkenden Autos blockiert sind. Für die quer parkenden Autos
wurden Kleinbuchstaben verwendet, da alle Großbuchstaben schon belegt sind.
\begin{minted}[breaklines]{text}
testdaten/test0.txt:
A:
B:
C: a 2 links
D: a 1 links
E: a 2 links, b 2 links
F: a 1 links, b 1 links
G: a 2 links, b 2 links, c 2 links
H: a 1 links, b 1 links, c 1 links
I: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links
J: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links
K: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links
L: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links
M: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links
N: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links
O: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links
P: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links
Q: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links, h 2 links
R: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links, h 1 links
S: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links, h 2 links, i 2 links
T: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links, h 1 links, i 1 links
U: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links, h 2 links, i 2 links, j 2 links
V: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links, h 1 links, i 1 links, j 1 links
W: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links, h 2 links, i 2 links, j 2 links, k 2 links
X: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links, h 1 links, i 1 links, j 1 links, k 1 links
Y: a 2 links, b 2 links, c 2 links, d 2 links, e 2 links, f 2 links, g 2 links, h 2 links, i 2 links, j 2 links, k 2 links, l 2 links
Z: a 1 links, b 1 links, c 1 links, d 1 links, e 1 links, f 1 links, g 1 links, h 1 links, i 1 links, j 1 links, k 1 links, l 1 links
\end{minted}
Die Autos wurden abwechselnd jeweils um ein oder zwei Parkplätze verschoben,
je nachdem ob das ausfahrende Auto hinter der linken oder rechten Hälfe des quer
stehenden Autos steht.

Die Bezeichner der Autos müssen auch nicht bei A beginnen. Der Beginn mit
anderen Buchstaben ist möglich. Dies zeigt das folgende Beispiel an der
Eingabedatei \enquote{parkplatz3.txt} mit veränderten Bezeichnern.
\begin{minted}[]{text}
testdaten/test1.txt:
C:
D: X 1 rechts
E: X 1 links
F:
G: Y 1 rechts
H: Y 1 links
I:
J:
K: Q 2 links
L: Q 1 links
M: Q 2 links, R 2 links
N: Q 1 links, R 1 links
O: Q 2 links, R 2 links, S 2 links
P: Q 1 links, R 1 links, S 1 links
\end{minted}

\section{Aufgabe 2: Vollgeladen}
Es sind Hotels mit der Entfernung vom Start und einer Bewertung gegebenen. Man
soll ein Programm schreiben, dass eine Route zu einem Ziel über diese Hotels
bildet. Dabei darf an einem Tag nur sechs Stunden gefahren werden und das Ziel
muss innerhalb fünf Tagen erreicht werden. Dabei soll die niedrigste Bewertung
eines angesteuerten Hotels möglichst hoch sein.

\subsection{Lösungsidee}
Da die niedrigste Bewertung möglichst hoch sein soll, sollte zuerst versucht
eine Route mit einer Mindestbewertung von 5.0 zu bilden. Scheitert dies wird
es mit 4.9, 4.8, ..., 0.1 versucht. Die Routenbildung mit einer bestimmten
Mindestbewertung kann aus zwei Gründen fehlschlagen:
\begin{itemize}
	\item Innerhalb der 6 Stunden Fahrzeit gibt es kein Hotel mit der
		Mindestbewertung.
	\item an mehr als 4 Hotels muss gehalten werden
\end{itemize}

\subsection{Umsetzung}
Die Lösungsidee wird in C implementiert. Eine Hilfsfunktion der
\href{https://git.zinkel.org/MrGeorgen/advanced_C_standard_library}{advanced
C standard library},
die Textdateien ausliest, wird außerdem verwendet.
Das Programm erhält als Argumente eine beliebige Anzahl Dateipfade
zu Eingabedateien. Mit einer for-Schleife wird über die Dateipfade iteriert. In
der Schleife wird die Eingabedatei ausgelesen. Die Anzahl der Hotels und die
Gesamtfahrzeit werden jeweils in einer Variable abgespeichert. Anschließend wird
ein Array mit Strukturen, die Hotels darstellen, befüllt. In einer
do-while-Schleife wird mit einer Bewertung von 5.0, 4.9, ..., 0.1 versucht eine
Route zu bilden. Im Programm werden die Bewertungen als Integer dargestellt,
wobei die Bewertung der Eingabedatei mit 10 multipliziert wird. Die Ausgabe ist
wiederum im ursprünglichen Format. Wenn dies bei einer Bewertung erfolgreich
ist, wird die Schleife beendet. In dieser Schleife ist wiederum eine
for-Schleife, die über die Hotels iteriert, worin das letzte Hotel gespeichert
wird, das mindestens die angestrebte Bewertung hat. Ist das Hotel allerdings
mehr als 6 Stunden vom letzten Haltepunkt entfernt, muss das letzte Hotel
verwendet werden, an dem das Halten möglich ist. Es sei denn es gibt kein Hotel
mit der entsprechenden Bewertung oder es wurde bereits an mehr als drei Hotels
gehalten. Dann muss mit der nächsten Bewertung fortgefahren werden. Nachdem eine
Route gefunden wurde, wird diese ausgegeben und eventuell mit der nächsten
Eingabedatei fortgefahren.

\subsection{Beispiele}
Bei den folgenden Lösungen der gegebenen Beispiele steht jede Zeile für ein
Hotel, in dem übernachtet wird.
\begin{minted}[]{text}
hotels1.txt:
Entfernung vom Start: 347 Minuten, Bewertung: 2.7
Entfernung vom Start: 687 Minuten, Bewertung: 4.4
Entfernung vom Start: 1007 Minuten, Bewertung: 2.8
Entfernung vom Start: 1360 Minuten, Bewertung: 2.8
hotels2.txt:
Entfernung vom Start: 341 Minuten, Bewertung: 2.3
Entfernung vom Start: 700 Minuten, Bewertung: 3.0
Entfernung vom Start: 1053 Minuten, Bewertung: 4.8
Entfernung vom Start: 1380 Minuten, Bewertung: 5.0
hotels3.txt:
Entfernung vom Start: 360 Minuten, Bewertung: 1.0
Entfernung vom Start: 717 Minuten, Bewertung: 0.3
Entfernung vom Start: 1076 Minuten, Bewertung: 3.8
Entfernung vom Start: 1433 Minuten, Bewertung: 1.7
hotels4.txt:
Entfernung vom Start: 340 Minuten, Bewertung: 4.6
Entfernung vom Start: 676 Minuten, Bewertung: 4.6
Entfernung vom Start: 1032 Minuten, Bewertung: 4.9
Entfernung vom Start: 1316 Minuten, Bewertung: 4.9
hotels5.txt:
Entfernung vom Start: 317 Minuten, Bewertung: 5.0
Entfernung vom Start: 636 Minuten, Bewertung: 5.0
Entfernung vom Start: 987 Minuten, Bewertung: 5.0
Entfernung vom Start: 1286 Minuten, Bewertung: 5.0
\end{minted}

\section{Aufgabe 4: Würfelglück}
Es soll eine \enquote{Mensch ärgere dich nicht}-Simulation geschrieben werden.
Dabei auch werden modifizierte Würfel eingesetzt mit einer veränderten
Seitenanzahl und/oder veränderten Augenzahlen. Aus einer gegebenen
Würfelauswahl sollen alle möglichen Würfelpaare wiederholt gegeneinander
spielen. Dadurch soll bestimmt werden, wie gut jeder Würfel geeignet ist, um zu
gewinnen.

\subsection{Lösungsidee}
Mithilfe eines Zufallsgenerators kann eine Seite des Würfels und somit die
Augenzahl bestimmt werden. Dann muss entschieden werden welche Figur gezogen
wird. In der folgenden Reihenfolge wird probiert, die Figuren zu ziehen:
\begin{enumerate}
	\item Wenn eine Figur auf Feld A steht, muss diese gezogen werden.
	\item Wurde eine 6 gewürfelt, wird eine neue Figur rausgebracht.
	\item Die vorderste Figur auf der Laufbahn, die gezogen werden kann, wird gezogen.
	\item Die Figur auf dem Zielfeld, die der Laufbahn am nächsten ist, wird gezogen.
\end{enumerate}
Welche Figur auf dem Zielfeld gezogen wird, ist nicht in den Regeln festgelegt.
Es wäre auch möglich so zu ziehen, dass möglichst keine Figur vor dem Ziel
blockiert wird, d. h. sie mit keiner möglichen Augenzahl gezogen werden kann.
Allerdings wird der Fall, dass zwei verschiedene Figuren auf die Zielfelder
gezogen werden können, selten auftreten. Außerdem wird durch Regeländerung
zu einer festen Priorität der Figuren auf der Laufbahn klar, dass so weit
vorausschauende Lösungen nicht in dieser Aufgabe erwartet werden.

Sollte der Spieler eine 6 würfeln, ist er nochmal dran, ansonsten der andere.
Allerdings stellt sich die Frage, ob dieser auch nochmal dran ist, wenn er mit
der 6 nicht ziehen kann. Nach der Anmerkung gilt \enquote{Wenn kein Stein bewegt
werden kann, verfällt der Zug}. Hier ist fraglich, was mit \enquote{Zug} gemeint
ist. Einerseits können mehrere bewegte Figuren hintereinander als ein Zug
angesehen werden, da der gleiche Spieler dran ist. Allerdings werden zwei
Figuren gezogen, weshalb es auch als zwei Züge angesehen werden kann. Mit
\enquote{Wer eine \enquote{6} würfelt, hat nach seinem Zug einen weiteren Wurf
frei.} wird letzteres unterstützt, weil \enquote{nach seinem Zug} bedeutet, dass
bereits ein Zug beendet ist, bevor das zweite Mal gewürfelt wird. Es sind also
zwei Züge sind und nur der erste der beiden verfällt, sodass der Spieler auch
nach Verfallen eines Wurfes mit einer 6 nochmal würfeln darf.

Es ist auch möglich, dass ein Spiel unentschieden ausgeht. Wenn beide Spieler z. B.
keine 1 auf dem Würfel haben, diese aber brauchen, um ins Ziel zu kommen. Stellt
sich die Frage, wie unentschiedene Spiele gezählt werden. Eine Möglichkeit wäre die
Spiele zu wiederholen. Allerdings steht in der Aufgabenstellung: \enquote{wie gut diese
Würfel geeignet sind, um das Spiel zu gewinnen}. D. h., dass es irrelavant ist, ob
ein Würfel verloren oder unentschieden gespielt hat, sondern nur, wie oft gewonnen
wurde.

\subsection{Umsetzung}
Das Programm wird in Rust implementiert. Als Argumente müssen Dateipfade zu den
Eingabedateien übergeben werden. Das Spielfeld ist in einer Struktur gespeichert.
Die Laufbahn wird einem 40er-Array innerhalb der Struktur gespeichert. Die
Figuren der beiden Spieler werden durch 0 und 1 dargestellt. Auch die Spieler werden
Spieler 0 und Spieler 1 genannt. Ist an der entsprechenden Stelle keine
Figur, wird dies durch -1 dargestellt. Mit dem gleichen Format hat die Struktur zwei
Arrays für die Zielfelder für die beiden Spieler. Außerdem hat die Struktur ein Attribut, das
die Anzahl der Figuren auf den B-Feldern der beiden Spieler in einem Array speichert.
Schließlich hat die Struktur noch ein Attribut, das in einem 2d-Array die Positionen
der Figuren abgespeichert, der erste Index 0 oder 1 entsprechend der beiden Spieler und
der zweite Index für die Figuren des jeweiligen Spielers. Dies ist notwendig, damit schnell
die Figuren gezogen werden können, ohne das das ganze Laufbahn-Array durchsucht werden muss.
Die Methode \mintinline{rs}|step| der Struktur \mintinline{rs}|Field| zieht die Figuren unter Angabe einer
Figur und dem Würfelergebnis, wenn es möglich ist, und gibt je nach Erfolg
einen Boolean zurück. Außerdem ruft sie die Methode \mintinline{rs}|beat| auf, um die Figur zu
schlagen, die dem Zug im Weg stehen.

In der \mintinline{rs}|main| Funktion wird mit einer for-Schleife über die Eingabedateien iteriert.
In einer weiteren for-Schleife werden alle möglichen Würfelkombinationen ermittelt.
Wie oft gespielt wird, kann durch die Variable \mintinline{rs}|runs| verändert werden.
Eine while-Schleife läuft, solange das Spiel läuft. Mit der \enquote{rand}
Bibliothek werden Zufallszahlen erstellt und die Augenzahl bestimmt. Dann wird
entsprechend des oben beschriebenen Algorithmus die Methode
\mintinline{rs}|step| aufgerufen.
Wurde erfolgreich ein Zug gemacht, wird überprüft, ob der Spieler gewonnen hat.
Konnte nicht gezogen werden, wird in einem Hashset die Augenzahl gespeichert.
Kann bei keiner Augenzahl bei beiden Spielern eine Figur bewegt werden, wird das Spiel
für Unentschieden erklärt. Wurden alle Spiele simuliert, wird das Ergebnis ausgegeben.

\subsection{Beispiele}
Es folgen die Ergebnisse zweier durchgeführten Simulationsreihen.
\begin{minted}[breaklines]{text}
beispieldaten/wuerfel2.txt:
1. Würfel: Würfelseiten: [1, 6, 6, 6, 6, 6], Siege: 783855, Siegwahrscheinlichkeit: 0.97981875, Niederlagen: 16145, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.02018125, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
2. Würfel: Würfelseiten: [1, 1, 6, 6, 6, 6], Siege: 603829, Siegwahrscheinlichkeit: 0.75478625, Niederlagen: 196171, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.24521375, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
3. Würfel: Würfelseiten: [1, 1, 1, 6, 6, 6], Siege: 404042, Siegwahrscheinlichkeit: 0.5050525, Niederlagen: 395958, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.4949475, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
4. Würfel: Würfelseiten: [1, 1, 1, 1, 6, 6], Siege: 205234, Siegwahrscheinlichkeit: 0.2565425, Niederlagen: 594766, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.7434575, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
5. Würfel: Würfelseiten: [1, 1, 1, 1, 1, 6], Siege: 3040, Siegwahrscheinlichkeit: 0.0038, Niederlagen: 796960, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.9962, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
beispieldaten/wuerfel3.txt:
1. Würfel: Würfelseiten: [1, 2, 5, 6], Siege: 753656, Siegwahrscheinlichkeit: 0.753656, Niederlagen: 246344, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.246344, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
2. Würfel: Würfelseiten: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], Siege: 612055, Siegwahrscheinlichkeit: 0.612055, Niederlagen: 387945, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.387945, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
3. Würfel: Würfelseiten: [1, 2, 3, 4, 5, 6], Siege: 593636, Siegwahrscheinlichkeit: 0.593636, Niederlagen:
406364, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.406364, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
4. Würfel: Würfelseiten: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], Siege: 446248, Siegwahrscheinlichkeit: 0.446248, Niederlagen: 553752, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.553752, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
5. Würfel: Würfelseiten: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], Siege: 440136, Siegwahrscheinlichkeit: 0.440136, Niederlagen: 559864, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.559864, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
6. Würfel: Würfelseiten: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], Siege: 154269, Siegwahrscheinlichkeit: 0.154269, Niederlagen: 845731, Niederlagewahrscheinlichkeit: 0.845731, Unentschieden: 0, Unentschiedenwahrscheinlichkeit: 0
\end{minted}
Allgemein sind die Würfel, mit der größten Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln,
am besten. Zum einen, da eine 6 benötigt wird, um rauszukommen. Außerdem kann man
nochmal würfeln, auch wenn man mit der 6 nicht ziehen konnte. Sehr große Augenzahlen
dagegen sind zwar gut, um viele Schritte auf einmal zu gehen. Allerdings sind sie
kurz vor dem Ziel von Nachteil, da man mit ihnen nicht mehr gehen kann.

\part{Runde 2}
Zum Anlass des Jubiläums (40. Wettbewerb) gibt es diesmal eine Bonusaufgabe
zusätzlich zu den normalen drei Aufgaben. Aus diesen vier Aufgaben müssen zwei
ausgewählt werden. Der Quelltext meiner Programme, die Aufgabenstellung und
weitere Beispielausgaben findet man in meinem
\href{https://git.zinkel.org/MrGeorgen/bwinf40-runde2}{Git-Repository}.

\section{Aufgabe 2: Rechenrätsel}
Das Programm soll Rechenrätsel erstellen, bei denen die Operanden aus einer
einzigen Ziffer bestehen. Das Ergebnis des Terms muss positiv sein. Es soll nur
eine Möglichkeit geben, die Grundrechenarten als Operatoren zwischen die
Operanden einzusetzen, sodass die Gleichung erfüllt ist. Ein Beispiel für so ein
Rätsel ist: $4\cdot4\cdot3=13$

\subsection{Lösungsidee}
\subsubsection{Allgemeines}
Der Beweis, ob ein Rechenrätsel eindeutig lösbar ist, ist ein
Entscheidungsproblem mit NP-Schwere. Eine mögliche Lösung ist, eine interessante
Ziffernfolge zufällig zu wählen und alle möglichen Kombinationen von Operatoren
auszuprobieren. Kommt ein Ergebnis nur einmal vor, wurde ein eindeutig lösbares
Rätsel gefunden, was in der Regel der Fall sein sollte, ansonsten muss der
Vorgang mit anderen Ziffern wiederholt werden.

Theoretisch wäre es möglich, dass die Operanden immer
zufällig so gewählt werden, dass es kein interessantes und eindeutiges Rätsel
gibt und das Programm somit nie zu einem Ergebnis kommt. Allerdings läuft die
Wahrscheinlichkeit dafür gegen null.

Die beschriebene Brute-Force\footnote{Alle Möglichkeiten werden ausprobiert.}
Operation dauert allerdings bei zunehmender Anzahl der Operatoren exponentiell länger. Die Anzahl
der Möglichkeiten $|\Omega|$ kann in Abhängigkeit von der Operatorenanzahl $n$
berechnet werden: $|\Omega|=4^{n}$. Dabei gilt es zu beachten, dass dies der
Maximalwert ist, da die Division oft im Vorhinein ausgeschlossen werden kann,
weil diese eine nicht ganze Zahl ergibt. Das Programm sollte Rätsel mit mindestens 15
Operatoren erstellen können, da dies in der Aufgabenstellung als Richtwert
angegeben wird. Für $n=15$ gilt $|\Omega|=4^{15}=1073741824\approx10^{6}$. So
viele Möglichkeiten können noch mit einer guten Laufzeit berechnet werden.

\subsubsection{Die Null als Operand?}

Nach Aufgabenstellung ist jeder Operand nur eine Ziffer. Bei den gegebenen
Beispielen kommt jede Ziffer vor außer der Null, allerdings wird auch nicht
ausdrücklich gesagt, dass man sie nicht verwenden darf. Die Addition und
Subtraktion einer Null kann in einem Rätsel nicht verwendet werden, da beide
Operationen das gleiche Ergebnis haben und das Rätsel damit uneindeutig wäre. Da
die Division durch Null nicht definiert ist, bleibt nur noch die Multiplikation
übrig. Es ergibt jedoch wenig Sinn ein Rätsel zu stellen, wo bereits zu Beginn
ein Teil der Lösung bekannt ist. Dies gilt insbesondere, da die Rätsel nach
Aufgabenstellung \enquote{richtig schwer} sein sollen. Also wird die Null in
meiner Lösung nicht als Operand benutzt.

\subsubsection{Interessante Rätsel}
Die Aufgabenstellung gibt nicht genau vor, wie ein Rätsel, das \enquote{interessant und
unterschiedlich} ist, zu sein hat. Allerdings wird ein Beispiel gegeben, wie ein
Rätsel aussehen kann. Das Beispielrätsel habe ich mit einer leicht modifizierten
Version meines Programms lösen lassen:
\begin{minted}[breaklines]{text}
Rätsel: 4 ○ 3 ○ 2 ○ 6 ○ 3 ○ 9 ○ 7 ○ 8 ○ 2 ○ 9 ○ 4 ○ 4 ○ 6 ○ 4 ○ 4 ○ 5 = 4792
Lösung: 4 * 3 * 2 * 6 * 3 * 9 + 7 * 8 : 2 * 9 * 4 - 4 * 6 - 4 * 4 * 5 = 4792
\end{minted}
Es fällt auf das jeder Operator mindestens einmal vorkommt, wobei die
Multiplikation überwiegt. Außerdem ist das Ergebnis noch relativ klein im
Vergleich zu anderen eindeutig lösbaren Rätseln, wie ich beim Vergleich mit der
ungefilterten Ausgabe meines Programms festgestellt habe. Zudem kommen einige
verschiedene Ziffern vor. Meine Regeln für ein interessantes Rätsel sind noch
etwas strenger, da in dem Beispiel schon recht oft die Multiplikation vertreten
ist. Diese lauten wie folgt:
\begin{enumerate}
	\item Sei $n$ die Anzahl der Operatoren und $m_i$, die Anzahl, mit der
		der jeweilige Operator vorkommt. Dann soll gelten:
		\begin{align}
			\frac{n}{10} - 1 < m_i \leq \frac{n}{2} + 1
		\end{align}
		Die Division ist oft nicht möglich, da das Ergebnis keine ganze
		Zahl ist. Deshalb muss die Untergrenze relativ klein sein, damit
		für die Division die Bedingung noch erfüllt werden kann. Die
		Formel wurde so gewählt, dass bei Rätsel mit zwei Operatoren
		noch zweimal derselbe Operator gewählt werden darf. Allerdings
		finde ich es bei Rätseln mit drei Operatoren nicht interessant,
		jedes Mal denselben Operator zu haben. Darum habe ich die Formel
		so gewählt, dass in diesem Fall die Obergrenze nicht erfüllt
		ist.
	\item Sei $n$ die Anzahl der Ziffern und $m_i$, die Anzahl mit der die
		jeweilige Ziffer vorkommt. Dann soll gelten:
		\begin{align}
			\frac{n}{18} - 1 < m_i \leq \frac{2}{9} \cdot n + 1
		\end{align}
		Für diese Untergrenze habe ich mich entschieden, damit, wenn
		durchschnittlich jede Ziffer der neun Ziffern zweimal vorkommen sollte,
		mindestens eine vorhanden ist. Aus einem ähnlichen Grund habe
		ich auch die Obergrenze so gewählt, dass $\lim_{n \to \infty}
		\frac{2}{9} \cdot n + 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{9} \cdot n$
\end{enumerate}
In der Regel werden viele interessante Rätsel gefunden. Da das Beispielrätsel
ein kleines Ergebnis hat und kleinere Ergebnisse auch eleganter sind, wird
von allen interessanten Rätseln, das mit dem kleinsten Ergebnis ausgewählt.

\subsection{Umsetzung}
\subsubsection{Umgebung und Bibliotheken}
Die Lösungsidee wird in Rust nightly implementiert, da Trait Aliase noch nicht
in Rust stable sind. Jeder Typ, der ein Trait implementiert, muss bestimmte
Methoden haben. Traits sind daher für Generics essenziell. Trait Aliase machen es
nun möglich für mehrere Traits einen Alias zu erstellen, was Schreibarbeit
spart. Außerdem werden einige crates, also Abhängigkeiten in Rust, verwendet:
\begin{itemize}
	\item Mit rand werden zufällige Ziffern als Operanden erstellt.
	\item Mit clap werden die Kommandozeilenargumente verarbeitet.
	\item Zudem werden noch einige crates des rust-num Teams genutzt.
		Dabei wird nicht das meta-crate num verwendet, sondern die
		sub-crates werden einzeln verwendet, um die Abhängigkeiten
		kleinzuhalten. num-traits ist dabei u. a. für die Konvertierung
		eines bestimmten Integer-Typs zu einen generischen Integer-Typ
		zuständig. num-derive stellt Macros zur Verfügung, die es
		erlauben Integers zu Enums zu konvertieren. Mit num-integer
		können arithmetischen Operationen generisch für verschiedene
		Integer-Typen implementiert werden.
\end{itemize}

\subsubsection{Benutzung}
Mit der Option -c kann die Anzahl der Operatoren angegeben werden. Der
Standartwert ist 5. Allerdings können maximal Rätsel mit 32 Operatoren berechnet
werden, da die verwendeten Operatoren eines Rätsels in 64 Bit Integers
gespeichert werden. Da es vier Grundrechenarten gibt brauchen wir für jeden
Operator 2 Bits, um diesen darzustellen. Da $64/2=32$ können also maximal 32
Operatoren verwendet werden. Mit dem flag -s kann man die Ausgabe der Lösung zu dem
Rätsel einschalten. Schließlich können optional mit -d die Operanden angegeben werden, z.
B. : \mintinline{text}|-d={1,4,5,8}|. Dies ist sehr nützlich zu Testzwecken. Wenn man die
Operanden nicht angibt, werden automatisch interessante gewählt.

\subsubsection{Implementierungsart}

In der main-Funktion befindet sich direkt eine while-Schleife, die solange läuft
bis ein interessantes Rätsel gefunden wurde. In der Regel wird die Schleife nur einmal
durchlaufen, weil sich für die erste ausgewählte Operandenkombination normalerweise
auch ein interessantes und eindeutiges Rätsel ergibt.

Wenn der Nutzer keine
Operanden angibt, werden diese zufällig ausgewählt. Dabei befinden sich die
Ziffern in einem Vector\footnote{Implementierung von Arrays mit
dynamischer Größe aus Rusts Standartbibliothek} und werden daraus
zufällig gewählt. Damit die minimale und maximale Anzahl aller Ziffern
garantiert werden kann, sodass das Rätsel interessant ist, werden in Laufe der
Auswahl Ziffern aus dem Vector entfernt.

Danach wird die Funktion \mintinline{rs}|calc_results| mit diesen Operanden
aufgerufen. Diese kann durch Generics alle Integertypen für die
(Zwischen)ergebnisse verwenden. Das größte Ergebnis für die Operanden wird
berechnet, indem sie alle miteinander multipliziert werden. Wenn dieses zu groß
ist für 64 Bit Integers, werden 128 Bit Integers verwendet, ansonsten 64 Bit
Integers. Dafür habe ich mich entschieden, da mit 64 Bit Rechnern schneller mit
64 Bit Integers gerechnet werden kann. Jedoch kann man trotzdem Rätsel berechnen,
die 128 Bit Integers erfordern.

Innerhalb der Funktion \mintinline{rs}|calc_results| gibt es eine for-Schleife,
die über alle Möglichkeiten, Operanden mit Punkt- bzw. Strichrechnung zu wählen,
iteriert. Dabei wird die Variablen \mintinline{rs}|dm_as_map| nach jedem
Durchlauf um eins erhöht. Jedes Bit der Variable steht dabei für Punkt- oder
Strichrechnung, wobei das least significant Bit für den Operatoren ganz links
steht.

In der Schleife wird die Funktion \mintinline{rs}|multiplicate_divide| mit einer Sequenz von
Operanden, zwischen denen nur Punktrechnung vorkommt, aufgerufen. Diese ruft
sich selber doppelt rekursiv auf, wobei einmal multipliziert und einmal
dividiert wird. Die Division wird ausgelassen, wenn das Zwischenergebnis keine
ganze Zahl ist. Wenn das Ende der Sequenz erreicht ist, werden die verwendeten
Operatoren in einer Hashmap mit dem Zwischenergebnis als Schüssel abgespeichert.
Wenn das Zwischenergebnis bereits einmal vorkam, wird unter dem Ergebnis
\mintinline{rs}|None| abspeichert und das Zwischenergebnis somit als uneindeutig
markiert. Die Hashmaps mit den möglichen Zwischenergebnissen werden zusammen in
einem Vector \mintinline{rs}|results_multiplicate| gespeichert. Zusätzlich
werden die Operanden, die nicht Teil einer Punktrechnungssequenz sind, einfach
in den Vector übernommen, indem eine Hashmap mit nur einem möglichen
Zwischenergebnis erstellt wird.

In der rekursiven Funktion \mintinline{rs}|add_sub| wird mit einer for-Schleife
über alle möglichen Zwischenergebnisse iteriert. Innerhalb der Schleife ruft
sich die Funktion pro Durchlauf zweimal auf, wobei einmal addiert und einmal
subtrahiert wird. Dies passiert solange, bis die letzte Hashmap mit möglichen
Ergebnissen erreicht wurde. Dann wird das Ergebnis mit den verwendeten
Operatoren mithilfe der Struktur \mintinline{rs}|ResultStore| gespeichert, wobei
es auch passieren kann, dass das Ergebnis direkt als uneindeutig markiert wird, da
schon eines der Zwischenergebnisse uneindeutig war.

Die Struktur \mintinline{rs}|ResultStore| besteht aus einer Hashmap mit den
Operatoren als Wert und den dazugehörigen Ergebnissen als Schüssel. Außerdem hat
sie noch ein weiters Attribut, ein Hashset, mit den Ergebnissen für die das
Rätsel uneindeutig ist. Die Methode \mintinline{rs}|store| hat als Parameter
das Ergebnis und eine Option von Operatoren. Wenn die Option
\mintinline{rs}|None| ist, wird das Ergebnis in das Hashset der uneindeutigen
Ergebnisse aufgenommen. Wenn das Ergebnis weder in der Hashmap noch in dem
Hashset ist, wird das Rätsel in der Hashmap gespeichert. Wenn es bereits in der
Hashmap ist, wird es als uneindeutig im Hashset gespeichert.

Schließlich wird über alle Schlüssel-Werte-Paare der Hashmap einer Instanz der
\mintinline{rs}|ResultStore| Struktur iteriert. Es wird gezählt wie oft welche
Operatoren verwendet wurden und überprüft, ob die Anzahl innerhalb des Bereiches
liegt, in dem das Rätsel als interessant befunden wird. Von allen interessanten
und uneindeutigen Rätseln wird bestimmt, welches das kleinste Ergebnis hat, und
dieses wird ausgegeben. Wenn kein interessantes Rätsel gefunden wurde, muss die
while-Schleife der main-Funktion noch einmal durchlaufen werden.

\subsection{Beispiele}
\rechen{2}
\rechen{3}
\rechen{6}
\rechen{15}
\rechen{26}

\section{Aufgabe 3: HexMax}
Mit Stäbchen wird eine hexadezimale Zahl dargestellt wie bei einer
Siebensegmentanzeige. Ein Programm soll geschrieben werden, dass bei einer
gegebenen Maximalzahl für die Umlegungen, die Stäbchen so umgelegt werden,
dass die Zahl möglichst groß wird.

\subsection{Lösungsidee}
Durch ebenso häufiges Hinlegen und Wegnehmen der Stäbchen erhält man eine Hex-Zahl,
die man auch durch Umlegen der Stäbchen erreichen kann. Der Algorithmus kann also erstmal mehr
Stäbchen hinlegen wie wegnehmen oder umgekehrt, solange am Ende die Anzahl der
hingelegten Stäbchen gleich der der weggenommenen Stäbchen ist.

Die größte Zahl erhält man, wenn man möglichst die vorderen Ziffern erhöht. Der
Algorithmus geht, angefangen mit der ersten Ziffer, jede Ziffer der Zahl durch.
Davon ausgenommen sind Ziffern, die schon geändert wurden. Bei jeder Ziffer,
sofern sie nicht schon F ist, wird probiert sie auf F,E,... umzulegen. Dabei
wird gezählt,
wie viele Stäbchen weggenommenen und hingelegt werden müssen. Überschreitet
weder die Gesamtzahl der weggenommenen Stäbchen, noch die der hingelegten Stäbchen
die gegebene maximale Anzahl der Umlegungen, wird die Ziffer entsprechend
geändert. Ansonsten wird probiert die Ziffer zu der nächst kleineren Ziffern zu
ändern. Dies wird so lange wiederholt, bis die Änderung der Ziffer erfolgreich
war oder bereits alle Ziffern, die größer sind, ausprobiert wurden. Danach wird
zu der nächsten Ziffer übergegangen.

Nachdem die vorderen Ziffern entsprechend erhöht wurden, kann es sein, dass noch
Stäbchen benötigt werden oder loszuwerden sind, damit gleich viele Stäbchen
weggenommenen wie hingelegt wurden. Da zuvor schon die Ziffern nach Möglichkeit
erhöht wurden, kann dies nur erreicht werden, indem Ziffern verringert werden.
Damit das nicht so stark ins Gewicht fällt, wird über die Ziffern von hinten
iteriert. Ziffer für Ziffer wird nun probiert, die Ziffer so zu ändern, dass sich
der Abstand zwischen der Anzahl der hingelegten und der weggenommenen Stäbchen
verringert. Es kann auch eine vorherige Änderung der Ziffer wieder rückgängig
gemacht
werden. Es kommt zu einem Fehler, wenn man bei einer hinteren Ziffer weniger
Stäbchen hätte loswerden bzw. wegnehmen sollen, um später bei einer Ziffer, die
weiter vorne ist, mehr Stäbchen hinlegen bzw. wegnehmen zu können. Wenn sie
dadurch größer würde oder es dadurch überhaupt erst möglich wäre den
Ausgleichsvorgang schon bei ihr abzuschließen, ist das Ergebnis falsch.
Glücklicherweise tritt dieser Fall bei den gegebenen Beispielen nicht ein. Unter
\ref{negativ} findet sich noch ein entsprechendes Negativbeispiel. Auch bei
diesem Algorithmusteil darf natürlich nicht die maximale Anzahl der Umlegungen
überschritten werden. Der Algorithmus wird so lange wiederholt bis die maximale
Anzahl der Umlegungen ausgeschöpft wurde.

Schließlich werden Paare von jeweils einem hingelegten und einem weggenommenen
Stäbchen gebildet, die eine Umlegung ergeben. Theoretisch könnte es passieren,
dass dabei \enquote{die Darstellung einer Ziffer komplett \enquote{geleert}}
wird. Praktisch tritt dieser Fall bei den gegebenen Beispielen jedoch nicht ein.

Sei $n$ die Anzahl der Ziffern, so hat der Algorithmus im besten Fall  eine
Laufzeit von $O(n) = n$, wenn keine Wiederholung notwendig ist. Dies ist für die
Beispiele 2-5 auch die tatsächliche Laufzeit. Da es maximal $n$ Wiederholung
geben kann, ist die Laufzeit im schlechtesten Fall $O(n) = n^2$

\subsection{Umsetzung}
\subsubsection{Umgebung und Bibliotheken}
Die Lösungsidee wird in Rust implementiert. Zum Erleichtern der Implementierung
habe ich noch zwei crates\footnote{Abhängigkeiten in Rust} benutzt:
\begin{enumerate}
	\item Mit clap werden die Kommandozeilenargumente verarbeitet.
	\item derive\_more bietet u. a. die Möglichkeit die einzelnen Attribute
		einer Struktur jeweils zu addieren oder zu subtrahieren wie bei
		einem Vektor.
\end{enumerate}

\subsubsection{Benutzung}
Dem Programm muss als Argument der Dateipfad zu der Eingabedatei übergeben
werden. Außerdem können noch weitere Optionen angepasst werden. Mit der Option
-d kann die Anzahl der Ziffern, die beim Ausgeben des Zwischenstands der
Umlegungen maximal in einer Zeile anzeigt werden sollen, geändert werden.
Standardmäßig sind dies 20 Ziffern, da jede Ziffer ein
ASCII-Art\footnote{ASCII-Art ist die Darstellung eines Bildes oder Piktogramms
mit Zeichen der ASCII-Codierung.} ist und
dementsprechend Platz braucht. Beim Verwenden des flags -n wird die Anzahl
der durchgeführten Umlegungen ausgegeben. Benutzt man den flag -s, so wird der
Zwischenstand der 7-Segmentanzeige nach jeder Umlegung ausgegeben. Schließlich
kann man den flag -l verwenden, für den Latex-Code mit dem Ergebnis des
Programms. Dies ist hilfreich, da dafür gesorgt wird, dass kein Seitenumbruch
mitten in einem ASCII-Art auftritt.

\subsubsection{Implementierungsart}
Die Implementierung ist in zwei Dateien aufgeteilt. In der Datei lib.rs wird die
größtmögliche Hex-Zahl ermittelt und die Umlegungen werden entsprechend
generiert. In der Datei main.rs werden die Nutzereingaben verarbeitet und das
Ergebnis sowie weitere Informationen ausgegeben.

Kommen wir zum Code in der Datei main.rs: Zuerst werden in der
main-Funktion die Kommandozeilenargumente verarbeitet. Danach wird die Funktion
\mintinline{rs}|hexmax::largest_hex| aufgerufen. Diese ermittelt die
größtmögliche Hex-Zahl mit der gegebenenen maximalen Anzahl der Umlegungen.
Danach wird die Hex-Zahl mit der Funktion \mintinline{rs}|hexmax::to_hex_str| zu
einem String konvertiert und ausgegeben. Falls die Zwischenstände der Umlegungen
ausgegeben werden sollen, wird die Funktion \mintinline{rs}|hexmax::gen_swaps|
aufgerufen, die die Umlegungen zurückgibt. Anschließend wird jede Umlegung
hintereinander ausgeführt und die 7-Segmentanzeige nach jeder Umlegung mithilfe
der Funktion \mintinline{rs}|swap_print| als ASCII-Art ausgegeben.

In der Datei lib.rs gibt ein konstantes Array namens \mintinline{rs}|HEX|, dass
am Index der jeweiligen Ziffer eine Bitmap der 7-Segmentrepräsentation enthält.
Bei 1 leuchtet das Segment und bei 0 nicht.

Die Funktion \mintinline{rs}|change_digits| durchläuft Ziffer für Ziffer eines
als Argument übergebenen Iterators. Für jede Ziffer wird nun jede mögliche
Änderung der Ziffer durchgegangen, angefangen mit F,E,... . Dabei wird nach
folgender Vorgehensweise berechnet, wie viele Stäbchen im Vergleich zur
ursprünglichen Ziffer hingelegt und weggenommenen werden müssen:

Sei $u$ die 7-Segmentbitmap der ursprünglichen Ziffer und $n$ die der neuen
Ziffer:
\begin{align}
	c = u \oplus n \\
	h = c \& n \label{h} \\
	g = c \& u \label{g}
\end{align}
Mit diesen Formeln erhält man eine Bitmap der hingelegten Stäbchen $h$ und der
weggenommenen Stäbchen $g$. Zählt man nun die Einsen der binären Schreibweise
von $h$ oder $g$, so ergibt sich die Anzahl der hingelegten bzw. weggenommenen
Stäbchen. Mit diesen sowie der Gesamtzahl der hingelegten bzw. weggenommenen
Stäbchen wird eine der Funktion \mintinline{rs}|change_digits| übergebene
Lambdafunktion aufgerufen, sofern bei der Ziffernänderung nicht die maximale Anzahl der
Umlegungen überschritten werden würde. Diese entscheidet mit diesen Angaben, ob die Ziffer
entsprechend geändert werden soll. Diese Änderung ist entweder final oder es
wird probiert, die Ziffer auf einen niedrigen Wert zu ändern.

In der Funktion \mintinline{rs}|largest_hex| wird zuerst die Eingabedatei
ausgelesen. Im Vector \mintinline{rs}|digits| werden die einzelnen Ziffern der
gegebenen Hex-Zahl gespeichert. Innerhalb einer for-Schleife wird der
Algorithmus wiederholt, bis die Anzahl der maximalen Umlegungen ausgeschöpft ist
oder er schon so oft wiederholt wurde wie die Anzahl der Ziffern. Letzteres
bedeutet nämlich, dass keine größere Zahl mehr gefunden werden kann, die alle
Umlegungen ausschöpft. Zuerst wird probiert die vorderen Ziffern zu erhöhen.
Dafür wird die Funktion \mintinline{rs}|change_digits| mit einer Lambdafunktion
aufgerufen, die gleich die erste Ziffernänderung final akzeptiert. Die erste ist
dabei automatisch die größtmögliche Erhöhung.

Wenn die Anzahl der hingelegten ungleich der weggenommenen Stäbchen ist, müssen
noch Stäbchen genommen bzw. hingelegt werden. Dafür wird Ziffer für Ziffer von
hinten mithilfe der Funktion \mintinline{rs}|change_digits| betrachtet. Jede
Ziffer wird nun so geändert, dass der Abstand zwischen den hingelegten und
weggenommenen Stäbchen am geringsten ist. Nachdem alle Ziffern durchgegangen
worden sind, ist die Anzahl der hingelegten gleich der weggenommenen Stäbchen.
Allerdings kann es sein, dass dafür eine vorherige Änderung rückgängig gemacht
werden musste und die maximale Anzahl der Umlegungen nicht ausgeschöpft wurde.
In diesem Fall wird der Algorithmus nochmal wiederholt.

Die Funktion \mintinline{rs}|gen_swaps| generiert aus den Änderungen der Ziffern
konkrete Umlegungen. Dafür wird in einer for-Schleife über jede Ziffernänderung
iteriert. Wie in \eqref{h} und \eqref{g} beschrieben, wird ermittelt welche
Stäbchen dafür hingelegt und weggenommenen werden müssen. Die Bitmaps $h$ und
$g$ werden Bit für Bit durchlaufen. Für jede 1, d. h. das Stäbchen wurde
geändert, wird diese Änderung dem Vector \mintinline{rs}|moves_put| angehängt,
wenn das Stäbchen hingelegt wurde. Wenn es weggenommenen wurde, dann wird sie
dem Vector \mintinline{rs}|moves_taken| angehängt. Die beiden
Vectors\footnote{Da Vector der Name der Struktur ist, habe ich hier auch die
englische Mehrzahl verwendet. Eigentlich müsste es heißen \enquote{Variablen der
Struktur Vector}} werden schließlich zurückgegeben. Ordnet man die Elemente der
Vectors mit dem gleichen Index einander zu, so erhält man die Umlegungen.

Die Funktion \mintinline{rs}|to_hex_str| konvertiert eine Slice mit den Ziffern
zu einem hexadezimalen String. Dies wird erreicht, indem mit einer for-Schleife
über alle Ziffern iteriert wird, und jede Ziffer einzeln zu dem entsprechenden
Zeichen konvertiert wird.

\subsection{Beispiele}
\subsubsection{gegebene Beispiele}
\beispiel{0}
Die Zahl D24 wird erst mit 3 weggenommenen und 2 hingelegten Stäbchen auf F24
erhöht. Danach kann man allerdings das übrige Stäbchen nicht bei den Ziffern 4
oder 2 loswerden, sodass die Zahl auf E24 geändert wird, da dort gleich viele
Stäbchen hingelegt wie weggenommenen wurden. Darauffolgend wird wieder probiert
die Ziffern zu erhöhen, wobei die erste Ziffer ausgelassen wird, sodass der
Algorithmus schließlich zur Lösung EE4 kommt.

\newcounter{beispielcounter}
\forloop{beispielcounter}{1}{\value{beispielcounter}<5}{
	\beispiel{\arabic{beispielcounter}}
}

\subsubsection{Negativbeispiel\label{negativ}}
\begin{minted}[]{text}
$ hexmax testdaten/negativBeispiel.txt
ED8
\end{minted}

Die richtige Lösung wäre F89.

\end{document}
